日時
平成31年1月24日(木)－1月26日(土)
場所
室蘭工業大学 教育・研究2号館(Q棟)4階 数学ゼミナール室(Q402) 住所：室蘭市水元町27－1
講演者＆講演要旨
講演者： 猪奥 倫左 氏 (愛媛大学)
講演題目：Sobolev不等式のスケール不変性と最良定数の達成可能性について
講演要旨
Sobolevの不等式とその最良定数は，偏微分方程式の定性的，定量的研究で本質的な役割を果たすだけでなく， 等周不等式や山辺の問題といった幾何的な問題と密接に関連することが知られており， 多分野に渡って盛んに研究されている．談話会ではSobolevの不等式とその最良定数の話題を概観し， その後の講演では二つの話題について扱う．まず，G. Talentiによる全空間上の最良定数の導出について解説する． 証明のためには，P\'olya-Szeg\"oの不等式（関数に球対称再配列を施すとp-energyは減少すること)と 常微分方程式の解析が重要となるため，これについて説明する．次に，有界領域上でのSobolevの最良定数に関する研究について解説する．有界領域の場合も全空間の場合と同様に不等式自身がスケール臨界であることから，最良定数は同じになることがわかる．一方，有界領域は伸縮に関して不変でないことに起因して， 最良定数を達成する関数は存在しないことが知られている．講演者は最近の研究において，球上のp-energyを保存する非線形スケール変換を導入し，この不変性に着目して最良定数を達成するような球上のSobolev型不等式を導出した．講演の後半ではこの導出について概略を紹介する．
講演者： 佐藤 洋平氏 (埼玉大学)
講演題目： 定常非線形シュレディンガー方程式のピーク解
講演要旨
本講演では，定常非線形シュレディンガー方程式のプランク定数を含む係数をパラメータとみなし，そのパラメータを0に近づけたときの解の挙動について考える．このとき非負のポテンシャル関数の臨界点の近くに集中するピーク解が存在することは良く知られている．このピーク解の研究はFloer-Weinstein(1986)に始まり，主にポテンシャル関数が正の場合に多くの研究がされてきた．一方， Byeon-Wang(2000)はポテンシャル関数が0の値をとる極小点の近くにも集中する解が存在すること示し，さらにその解の形状はポテンシャル関数の極小点での退化の仕方によって異なることを示した． 本講演では，まず単独の方程式の場合に，ポテンシャル関数が0の値をとる場合も含めた極小点の近くに集中するピーク解を構成する方法を解説する．また，それを踏まえて最近得られた無限に強い引力効果をもつ連立非線形シュレディンガー方程式のピーク解に関する結果を紹介する．2つの未知関数から成る連立方程式ではポテンシャル関数は2つあるが，ポテンシャル関数のどちらか一方が0になる場合がByeon-Wangの結果に対応するかしないかは次元に依って異なることがわかる．
プログラム
1月24日(木)
14:00－15:00 猪奥氏 -- (兼 室蘭工大数理科学談話会) 15:15－16:15 佐藤氏 -- (兼 室蘭工大数理科学談話会)
1月25日(金)
10:00－11:30 猪奥氏 -- Part 1 （昼休み） 13:00－14:30 佐藤氏 -- Part 1 15:00－16:30 猪奥氏 -- Part 2
1月26日(土)
10:00－11:30 佐藤氏 -- Part 2 （昼休み） 13:00－14:30 猪奥氏 -- Part 3 15:00－16:30 佐藤氏 -- Part 3
本研究会は
室蘭工業大学研究ユニット予算
の援助を受けて開催されます．
世話人 加藤正和，黒木場正城，高橋雅朋，内免大輔 (室蘭工業大学ひと文化系領域数理科学ユニット)