開講学期
Course Start 		2015年度 前期
授業区分
Regular or Intensive 		実習
対象学科
Department 		情報電子
対象学年
Year 		1
必修・選択
Mandatory or Elective 		選択
授業方法
Lecture or Seminar 		ゼミナール
授業科目名
Course Title 		数理システム工学ゼミナールⅠ
単位数
Number of Credits 		4
担当教員
Lecturer 		桂田英典、森田英章、高橋雅朋
教員室番号
Office 		Q405(桂田)
連絡先(Tel)
Telephone 		5804(桂田)
連絡先(E-mail)
E-mail 		hidenori(at)mmm.muroran-it.ac.jp (桂田)
オフィスアワー
Office Hour 		金曜日 16:15～17:45 (桂田)
授業のねらい
Learning Objectives 		2つのクラス(クラスI、II)に分けて実施する。

クラス I：モジュラー形式のL関数は整数論において重要な研究対象のひとつである。その中でも、その臨界値（critical value)と呼ばれる値はきわめて重要で今までも多くの研究がなされている。このセミナーでは特にスタンダードL関数の臨界値を具体的に求めるアルゴリズムを学び、Mathematica等の数式処理ソフトウエアを用いてこの値が計算できるようになることを目標とする。

クラス II： 曲線の微分幾何学とソリトン方程式について学ぶ。前半では、平面曲線のパラメータ表示や曲率の定義、合同変換群について学び、平面曲線の基本定理を理解する。後半では、曲線の時間発展を考え、等周変形からソリトン方程式の1つであるmKdV方程式を導出し、その進行波解を楕円関数によって表す。

The seminar is divided into two classes.

Class I: L functions of modular form are important in number theory. In particular, their critical values are very important . The purpose of this seminar is to provide an algorithm for giving critical values of the standrad L functions of modular forms and to compute these values concretely.

Class II: The differential geometry on curves and the partial differential equations for the soliton are studied. In the first part, the purpose of this seminar is to understand the basic theory of the plane curves. In the second part, it is to represent traveling wave solutions for a mKdV equation by using the elliptic functions.
到達度目標
Outcomes Measured By: 		2つのクラス(クラスI、II)に分けて、以下の到達度目標のもと実施する。

クラス I
1) モジュラー形式の定義が理解できる。
2) モジュラー形式のスタンダードL関数の特殊値が計算できる。

クラス II
平面曲線と変形KdV方程式(以下、mKdV方程式と表記)と呼ばれるソリトン方程式に関して、以下のような概念の理解および解析方法の修得を目的とする。
1) 平面曲線の基本定理を理解することができる。
2) ヤコビの楕円関数の定義および性質を理解することができる。
3) ヤコビの楕円関数を用いてmKdV方程式の進行波解を表すことができる。
4) 3)の進行波解が描く曲線の形状を、Mathematica等を用いて表すことができる。

The goal of each class is as follows.

Class I
1) Students will learn what is a modular form.
2) Students will learn how to compute the special values of the standard L-functions of modular forms.

Class II
1) To understand the basic theory of the plane curves.
2) To understand the properties of Jacobi's elliptic functions.
3) To represent traveling wave solutions for a mKdV equation by Jacobi's elliptic functions.
4) To represent a shape of traveling wave solutions in 3) by using Mathematica, Maple and so on.
授業計画
Course Schedule 		2つのクラス(クラスI、II)に分けて、以下の順にセミナー形式で授業を行う。

クラスI:
1. ガイダンス
2. モジュラー群
3. モジュラー群とその合同部分群
4. モジュラー形式
5. モジュラー形式の例
6. ディリクレ級数
7. モジュラー形式のヘッケL関数
8. モジュラー形式のスタンダードL関数
9. ジーゲルアイゼンシュタイン級数
10. ジーゲルアイゼンシュタイン級数の引き戻し公式
11. ジーゲルアイゼンシュタイン級数の引き戻し公式(続き）
12. モジュラー形式のスタンダードL関数の臨界値の計算　1
13. モジュラー形式のスタンダードL関数の臨界値の計算　2
14. モジュラー形式のスタンダードL関数の臨界値の計算　3
15. モジュラー形式のスタンダードL関数の臨界値の計算　4

クラスII
1. 曲線と弧長パラメータ
2. フレネ標構
3. 様々な曲線
4. 距離関数と合同変換群
5. 平面曲線の基本定理
6. ヤコビの楕円関数
7. 楕円関数の加法定理
8. 積分公式
9. 等周条件
10. mKdV方程式
11. 進行波解
12. cn波解とdn波解
13. dn波解の定める曲線
14. cn波解の定める曲線
15. ベックルンド変換とその応用

The course schedule of each class is as follows.

Class I:
1. Guidance
2. Modular group
3. Modular groups　and their congruence subgroups
4. Modular forms
5. Examples modular fomrs
6. Dirichlet series
7. Hecke L functions of modular forms
8. Standard L functions of modular forms
9. Siegel Eisenstein series
10. Pullback formula of Siegel Eisenstein series 1
11. Pullback formula of Siegel Eisenstein series 2
12. Computation of critical values of the standard L functions of modular forms 1
13. Computation of critical values of the standard L functions of modular forms 2
14. Computation of critical values of the standard L functions of modular forms 3
15. Computation of critical values of the standard L functions of modular forms 4

Class II:
1. Curves and arc-length parameter
2. Frenet frame
3. Examples of curves
4. Distance function and congruent transformations
5. The fundamental theorem for plane curves
6. Jacobi's ellptic functions
7. Properties of Jacobi's ellptic functions
8. Integral formula
9. Isoperimetric condition
10. mKdV equation
11. Traveling wave solutions
12. cn and dn wave solutions
13. Curves represented by dn wave solutions
14. Curves represented by cn wave solutions
15. B?cklund transformations and its applications
教科書
Required Text 		クラスI： T. Miyake 著 「Modular forms」 (Springer)
クラスII： 井ノ口順一 著 「曲線とソリトン」 (朝倉書店)
参考書
Required Materials 		クラスI、IIとも特に指定しない。　
教科書・参考書に関する備考
成績評価方法
Grading Guidelines 		(クラスI、II共通) セミナーの準備状況および発表状況をみて総合的に判断する。

Determine the overall seeing a presentation situation and readiness of the seminar.
履修上の注意
Please Note
教員メッセージ
Message from Lecturer
学習・教育目標との対応
Learning and Educational
Policy
関連科目
Associated Courses
備考
Remarks 		口頭発表は原則として日本語で行うが、板書は英語を使うことを奨励する．

Presentation is Japanese, but the blackboard to encourage to use English.